* 주의 - 이 게시물은 삼각함수에 대해 깊이 다루고 있지 않습니다.(얉게 .. 다루고 있습니다.)
사인, 코사인, 탄젠트 코시컨트에 대해서도 다루지 않습니다.
1. 삼각형이란?
일단, 삼각형이 무엇인지 다시한번 보도록 하겠습니다.
| 삼각형(三角形, 세모꼴)은 세 개의 점과 세 개의 선분으로 이루어진 다각형이다. 삼각형의 세 점을 꼭짓점(정점)이라 하고, 선분을 변(邊)이라고 한다. |
성질
1. 세 각의 합은 180도이다. 단, 쌍곡면, 구면, 타원면 등에서는 이 법칙이 적용되지 않는다.
2. 삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다.
3. 그 어떤 삼각형도 어느 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이를 합한 것보다 길거나 같을 수 없다.
일단 쉽게 삼각형은 2개의 변으로 이루어진 3개의 정점(Vertex)을 가지고 있는 도형이라고 생각하면,
될 것 같습니다. (이제부터는 꼭지점을 정점(Vertex)라고 하겠습니다. 그래픽에서도 많이 쓰이니까요..)
또 삼각형에서 세 변의 길이와, 빗변과 밑변이 이루는 내각의 각도를 세타( θ - Theta) 라고합니다.
2. 피타고라스의 정리
(Pythagorean Theorem)
직각삼각형의 세 변의 관계를 나타내는 기본 정리입니다.
h² = a² + b²
빗변의 제곱 = 높이 제곱 + 밑변 제곱
예를 들어 a = 3 , b는 4라면 9 + 16 = h² 이므로 h² = 25 입니다. 25의 제곱근은 5이므로 h = 5 입니다.
그럼 반대로 빗변과 다른것을 알고 있다면, 높이나 밑변을 구할 수 있습니다.
b² = h² - a² 또는 a² = h² - b²
3 . 삼각함수 (T
rigonometric Function)
| 직각 삼각형의 한 예각 의 크기에 의하여 결정되는 삼각비를 의 함수로 보고 정의한 함수 및 이것과 대수함수 등과의 합성에 의해서 얻어지는 여러 함수를 말한다. |
쉽게 말해서 하나의 정점의 각이 직각인 삼각형의 각을 직각삼각형의 변들의 길이의 비율로 나타내는
함수입니다.
A. 삼각비
두변의 길이의 비율을 각기 나타냅니다.
사인 [Sine] -
세타 값에 따른 빗변과 높이의 비율입니다.
sin
θ = a / h (사인 세타 = 높이 / 빗변)
코사인 [ cosine] - 세타 값에 따른 빗변과 밑변 비율입니다.
cos θ = b / h (코사인 세타 = 밑변 / 빗변)
탄젠트 [Tangent] - 세타 값에 따른 밑변과 높이의 비율입니다.
tan
θ = b / a (탄젠트 세타 = 높이 / 밑변)
B. 주기성과 특이성 (단위원을 이용한 정의)
반지름이 1인 단위원을 가지고 직각삼각형을 그리고 피라고라스의 정리를 적용하면 다음과 같습니다.
tan θ = sin θ / cos θ
sin² θ + cos² θ = 1
4 . 코사인 법칙
A. 코사인 제1법칙
| 제1코사인 법칙은 삼각형의 꼭지각의 코사인과 변 사이에는 일정한 관계가 있다는 것을 식으로 나타낸 법칙이다. 삼각형 ABC의 꼭지각 A¹ , B¹ ,C에 대한 변을 각각 a¹,b¹,c 라 하면 다음 공식이 성립한다. |
| a = b cos C + c cos B b = c cos A + a cos C c = a cos B + b cos A |
1) 예각삼각형
_ _
a = BD + CD = b cos C + c cos B
2) 둔각삼각형
― ―
a = BD - CD = c cos B - b cos (180 - C) = c cos C + b cos C
3) 직각삼각형
―
a = BD = c cos B
말이 어려운거 같습니다. 특히 수학 비전공자인 저에게는 무슨말이지 선뜻 이해가 잘 안되는데요.
직각삼각형으로 생각해 보자면 한 각의 크기를 알고 빗변의 크기를 알면 나머지 두각의 크기를
알 수 있게됩니다.
왼쪽에 있는 삼각형의 a의 길이는 R cos θ 가 되고, 오른쪽의 삼각형의 a의 길이는 m cos α입니다.이럴때 2개의 삼각형이 붙게 된다면 두개의 삼각형이 하나의 삼각형이 되고 이때 a의 길이는R cos θ + m cos α 입니다.
B. 코사인 제 2법칙
| 제2코사인법칙은 수학에서, 상세히 말하면 삼각법에서, 평면상의 직각삼각형에 적용되는 피타고라스의 정리를 직각삼각형이 아닌 일반적인 삼각형에까지 확장시킨 법칙을 말한다. 이 법칙에는 피타고라스 정리의 꼴에 각의 코사인값에 비례하는 항이 보정되어 들어간다. |
| a² = b² + c² - 2bc cos A b² = a² + b² - 2ab cos C c² = a² + b² - 2ab cos C |
역시 말이 어렵습니다. 제가 이해하는것으로는 제 2 코사인 법칙은 세변과 한각의 관계식입니다.
즉 3개의 변으로 하나의 각을 구하거나 2개의 변과 하나의 각으로 나머지 하나의 변을 구하는 공식
입니다.
일단 아무렇게나 생긴 삼각형을 직각삼각형으로 나눕니다. (피타고라스의 정리를 위해서)
위에서 한 각의 크기를 알고 빗변의 크기를 알면 나머지 두각의 크기를 알 수 있게 된다고 했습니다.즉 중앙의 A->a 까지는 c sin θ가 되고 B->a는 c cos θ가 됩니다.그래서 나머지 a->C는 a - cos θ가 됩니다. 여기까지는 이해가 갑니다.
그 다음 피타고라스의 정리를 이용해서 b²를 구하는식을 세운다면
c²(sinθ)² + c²(cosθ)² + a² + 2ca cosθ = b²
위 단위원에서 말을 했던것으로 (cosθ)² + (sinθ)² = 1 이므로
c² + a² + b² = 2ca cos θ 가 되고 이것을 2ca로 나눈다면
cos θ = a² + b² - c² / 2ab 가 됩니다.
문제를 풀어보겠습니다.
x의 값을 구하자면 cos θ = a² + b² - c² / 2ab 이므로
cos 60 = 4 + 9 - x² / 2 * 2 * 3
1 = 4 + 9 - x² / 6
1 = 13 - x² / 6
x = 7
5 . 역삼각함수 (Inverse Trigonometric Function) - 작성중
| 수학에서, 역삼각 함수(逆三角函數, 영어: inverse trigonometric function)는 삼각 함수의 역함수이다. 삼각 함수는 단사 함수가 아니기 때문에 이의 역함수를 정의하려면 정의역을 제한하는 것이 필요하다. |
단사함수란?
| 단사 함수(單射函數, 영어: injection; injective function; one-to-one 혹은 일대일 함수)는 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수이다. 치역의 각 원소는 정의역의 원소 중 최대 한 원소의 상이다. |
위에 정의를 풀어서 이야기하면 사인과 코사인 역함수의 경우 1:1 대응이 되지 않기 때문에정의역을 제한하여야 한다는것입니다.
[
sin 값이 0 , π , 2π 라고 할때 각 값이 0이지만 이것을 역으로 할 경우 0의 값이
0 , π , 2π 가 될 수 있기 때문에 1:1 대응이 되지 않아 역함수가 존재할 수 없습니다.]
위에서 말한것 처럼 역함수가 존재하지 않기 때문에 최대값을 1로 합니다.
쉽게 이해하자면
삼각함수는 각도(세타)를 대입하면 숫자(비율)이 나오는 것이라고 할 수 있습니다.
그럼 역삼각함수라면 삼각함수의 반대이니까 숫자(비율)을 대입하면 각도가 나오는것입니다.
제가 이해한 방식인데 어떤 EBS 수학 강좌에서 본거 같습니다. 정확한 출처는 기억이 안나네요.
더 쉽게 말하자면 사인,코사인,탄젠트를 이용해서 각도인
θ 값을 구할 수 있습니다.
θ = arcsin(sinθ) or arccos(cosθ) or arctan(tanθ)
예 : sin(
θ) = 32 / 200 일때 , 각도 θ 는 얼마인가?
내용 및 문제 출처 - wikipedia , namu.wiki , EBS 수학 강의[코사인의 법칙] - https://www.youtube.com/watch?v=8AbTo3dFdsg
참고 서적 - 유니티로 배우는 게임 수학 (한빛 미디어)이미지 출처 - wikipedia , namu.wiki , 구글 이미지 검색 후 수정
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